導語：如何才能寫好一篇討論單調性的步驟，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公文云整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

《函數(shù)的單調性》是人教版高中數(shù)學必修一的內(nèi)容，該內(nèi)容包括函數(shù)的單調性的定義與判斷及其證明。函數(shù)的單調性一節(jié)中的知識是前一節(jié)內(nèi)容函數(shù)的概念和圖像知識的延續(xù)，它和后面的函數(shù)奇偶性，合稱為函數(shù)的簡單性質。函數(shù)的單調性是函數(shù)眾多性質中的重要性質之一，它是研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及其他函數(shù)單調性的理論基礎；在解決函數(shù)值域（或最值）、定義域、不等式、比較兩數(shù)大小、求方程的根的個數(shù)（或函數(shù)的零點的個數(shù)）等具體問題中均需用到函數(shù)的單調性；同時在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質的數(shù)形結合思想將貫穿于我們整個高中數(shù)學教學。

二、學情分析

本節(jié)復習課安排在必修一所有內(nèi)容都完成后的一節(jié)期中復習課。依據(jù)現(xiàn)有認知結構，學生能根據(jù)函數(shù)的圖象觀察出“隨著自變量的增大，函數(shù)值增大”的變化趨勢，且能用符號語言進行嚴密的代數(shù)證明。在教學過程中，要注意讓學生掌握代數(shù)證明的格式，要注意讓學生在內(nèi)容上緊扣定義貫穿整個學習過程。

三、教學目標

1.會用定義證明函數(shù)的單調性

2.會用函數(shù)的單調性解決函數(shù)根的個數(shù)、函數(shù)的值域等問題

3.體會函數(shù)思想、化歸思想、數(shù)形結合思想

在本節(jié)課的教學中以函數(shù)的單調性的概念為線，它始終貫穿于教師的整個課堂教學過程和學生的學習過程；利用函數(shù)的單調性的定義證明簡單函數(shù)的單調性是對函數(shù)單調性概念的深層理解，且“取值、作差與變形、判斷、結論”過程學生不易掌握。所以對教學的重點、難點確定如下：

四、教學重點

函數(shù)的單調性的判斷與證明。

五、教學難點

函數(shù)的單調性的靈活應用。

六、課前準備

學生復習函數(shù)單調性的定義，并完成題目：已知函數(shù)

①用定義證明函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)；②求出函數(shù)的單調區(qū)間；

七、教學設計

[教學環(huán)節(jié) 問題展示 設計意圖 課前預習 已知函數(shù)①用定義證明函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)； 復習用定義法證明函數(shù)的單調性，強調其步驟：取值――作差――變形――定號――結論 課內(nèi)探究（一題多問） ②求出函數(shù)的單調區(qū)間；

③不等式

對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍； 1.會利用復合函數(shù)的單調性求單調區(qū)間或利用函數(shù)的奇偶性解決單調區(qū)間有關的問題

2.利用函數(shù)的單調性，知道自變量的大小關系會求自變量的大小關系

3.解決恒成立問題 一題多變 變式1：已知函數(shù)在 [0，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

變式2：設函數(shù)在 [1，2]上的最小值為，求 1.已知函數(shù)的單調性解決參數(shù)問題

2.會利用單調性求最值

3.體會轉換思想和分類討論思想 ]

八、精彩回放

師：求方程的根

生1：方程的根為

師：方程就只有一個根嗎？并說明理由。

生2：方程的根等價于函數(shù)的零點，而函數(shù)是單調遞增的，故方程就只有一個根

師：這里我們用到了函數(shù)的什么性質？

生2：函數(shù)的單調性

師：這節(jié)課我們就來復習函數(shù)的單調性（板書課題）。

師：請同學們看例題：

例題：已知函數(shù)

①用定義證明函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)；

師：復習增函數(shù)的定義。

生3：當x1

師：用定義證明函數(shù)單調性的步驟。

生4：取值――作差――變形（乘積的形式或平方和的形式）――定號――結論

師：本題中求出函數(shù)的單調區(qū)間；并說明理由。

生5：的單調增區(qū)間是，減區(qū)間，因為為偶函數(shù)，在是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)。

生6：利用復合函數(shù)的單調性，令單調遞增，在單調遞減，單調遞增，所以f（x）的單調增區(qū)間是，減區(qū)間。

師：本題中若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

生7：將變量帶入解析式去解不等式。（做了一段時間后）發(fā)現(xiàn)計算量太大，沒法解決。

生8：利用函數(shù)的單調性，，

師：已知函數(shù)的單調性，并且知道函數(shù)值的大小關系，你能得到什么結論？

生9：函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，當f（x1）

師：變式1： 已知函數(shù)在 [0，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。

生10：任取，且

師：你能總結一下思路嗎？

生10：函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，當x1

師：你們還有其他的解法嗎？

生11：利用復合函數(shù)的單調性，令單調遞增，

當時，在上單調遞增，符合

當時，在單調遞減，單調遞增，

要使在單調遞增，則，

綜上所述，

師：變式2： 設函數(shù)在 [1，2]上的最小值為g（a），求g（a）。

生12：令，

①當時，在上單調遞增，

②當時，在單調遞減，單調遞增，

當即時，在單調遞增，

當即時，在單調遞減，上單調遞增

當即時，在單調遞減，

師：總結一下本節(jié)課學的知識點和思想方法。

生13：知識點：函數(shù)的單調性①當x1

思想方法：數(shù)學結合思想，轉換思想，分類討論思想。

九、教后說教

本節(jié)課是必修一內(nèi)容上好后為學生期中考試準備的一節(jié)復習課。

（1）通過求方程的根的個數(shù)引出函數(shù)的單調性，而這個方程的根學生容易看出來，但為什么只有1個根，只能利用函數(shù)的單調性加以解決。這樣讓學生體會函數(shù)單調性的重要性，更加激發(fā)學生學習函數(shù)單調性的積極性，大大提高了課堂效率。

（2）例題及變式歸納出證明函數(shù)單調性的方法、步驟及注意點，還對單調性進行靈活應用：①已知當x1

（3）題目設置一題多問，一題多變，復習了函數(shù)單調性涉及的題型，讓問題更集中，更加突出問題的本質。

（4）本節(jié)課內(nèi)容完整，思路清晰。符合新課程標準的精神。例題及變式由淺入深，完整，全面。

篇2

關鍵詞：單調性；同課異構；反思；高效

近年來，隨著新課程實施的不斷深入，廣大一線教師和教研員都在日益關注課堂教學的實效性問題，關于“有效課堂教學”的討論進行地轟轟烈烈． 先進的教育理念需要物化為教學實踐，才能對教學實踐起促進作用，教師的教學能力最終也是需要通過教學實踐才能得到提高． 我們教研組積極開展同課異構教學，讓所有教師都接觸新的教學方式，并圍繞著如何改變課堂教學中教師“教”的方式和學生“學”的方式這一主題，讓教師們?nèi)巳苏勼w會，說感想，大膽設計課堂教學新思路，從而大大增加課堂教學的有效性． 下面就兩位教師開展《函數(shù)的單調性》的同課異構教學談談自己的體會．

課堂引入環(huán)節(jié)的比較與評析

1. 周老師的課堂引入

多媒體顯示兩組圖象

提問：下列兩組圖象的變化趨勢有什么區(qū)別？

學生：圖1的圖象都是上升的，圖2的圖象都是下降的．

教師：函數(shù)圖象的“上升”、“下降”反映了函數(shù)的一個基本性質——單調性． 提出課題，板書．

問題：二次函數(shù)y=x2的圖象的變化趨勢怎樣呢？

2. 王老師的課堂引入

材料一：我市某天12小時的氣溫圖．

材料二：人的大腦是一個記憶的寶庫，人腦經(jīng)歷過的事物、思考過的問題、體驗過的情感和情緒、練習過的動作，都可以成為人們記憶的內(nèi)容． 德國有一位著名的心理學家名叫艾繽浩斯，他描繪非常有名的揭示遺忘規(guī)律的曲線． 這條曲線告訴人們在學習中的遺忘是有規(guī)律的，遺忘的進程不是均衡的，不是固定地一天丟掉幾個，轉天又丟幾個的，而是在記憶的最初階段遺忘的速度很快，后來就逐漸減慢了，到了相當長的時候后，幾乎就不再遺忘了，這就是遺忘的發(fā)展規(guī)律，即“先快后慢”的原則．

問題1：說出氣溫在哪些時段內(nèi)是逐步升高的或下降的？

學生：0到3點，圖象下降；3點到7點，圖象上升；7點到12點圖象上升．

問題2：怎樣用數(shù)學語言刻畫艾繽浩斯遺忘曲線“隨著時間的增加記憶的保持量降低”這一特征？

3. 觀點與評析

周老師采用的是問題引入，學生總結每組三張圖片的共同點和兩組圖片的不同點，對兩組圖象的不同變化趨勢（上升和下降）有了直觀形象的認識，使學生初步體會增（減）函數(shù)． 問題具有起點低、可操作性強的特點，學生很容易入手． 很自然地帶出二次函數(shù)作為探究的對象．

王老師采用的是情境創(chuàng)設，由貼近生活的兩幅函數(shù)圖（我市的氣溫變化圖和艾繽浩斯遺忘曲線），帶領學生認識函數(shù)圖象的變化趨勢，趣味性的小故事激發(fā)學生的學習的好奇心和興趣．以問題帶動學生的思維，通過第二個問題，引發(fā)學生的進一步學習的好奇心．

單調性概念形成教學環(huán)節(jié)的比較與評析

1. 周老師的教學處理

學生畫好二次函數(shù)y=x2的圖象：

問題1：觀察函數(shù)的圖象，指出函數(shù)從左向右是怎樣變化的？

學生：在y軸的左邊，圖象下降；在y軸的右邊，圖象上升．

問題2：此函數(shù)在區(qū)間?搖_______內(nèi)y隨x的增大而_______，

在區(qū)間_______內(nèi)y隨x的增大而_______．

問題3：如何用數(shù)學語言來準確地表述這種y值隨著x的值增大而增大（減?。┠兀?/p>

（教師提示：增大，至少需要幾個量比較，如何用式子表達量的增大動態(tài)．）

在老師的幫助下，學生逐步完善到式子x1

2. 王老師的教學處理

問題1：畫出下列函數(shù)圖象，指出其變化趨勢．

（1）f（x）=x；（2）f（x）=x2（以此函數(shù)為例，探究概念的形成）．

填寫下表：

問題2：圖象上升或下降，函數(shù)值和自變量的變化關系？

學生：通過表格數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，表1中x值增大，y的值也增大；表2中x值增大，y的值減?。?/p>

問題3：區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)單調遞增，

區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)單調遞減.

問題4：如何用數(shù)學式子表達x的增大？

學生：譬如：取兩個值1，4，則1

問題5：在區(qū)間（0，+∞），x的增大怎么表達？

學生：（思考、討論）得出0

問題6：類比x的增大，那么y的增大（減?。┑谋磉_是什么？

學生：（迫不及待地報出）y1y2）．

（師生一起整理探討的過程，得到單調性的概念）

3. 觀點與評析

兩位老師都以二次函數(shù)y=x2為例，引導學生采用數(shù)學符號表達增（減）函數(shù)的概念． 但兩位老師的教學設計有所不同．

周老師給出二次函數(shù)的圖象，以填空的形式，引導學生關注區(qū)間以及x與y之間的變化情況，結合初中所給的y隨著x的增大而增大（減?。?，引導學生如何用數(shù)學關系式表示x和y之間的這種變化，再通過三道判斷題，完善了概念中的區(qū)間和任意性．指導學生對特殊的二次函數(shù)的增（減）性的表達遷移到一般的函數(shù)增減性的表達，從而得出函數(shù)單調性的概念． 周老師的導語貼近學生，問題設計易促動學生，又是步步以舊知帶出新內(nèi)容，學生很容易接受，也愿意接受新知識的擴充，學生的積極性和主動性比較高，學生積極參與整個過程．

王老師要求學生畫好圖和填寫表格中x對應的y值，引導學生注意圖象的上升（下降），并說明圖象的變化與變量x和y之間的變化具有什么關系？學生完成表格，在表上很容易得到x增大，y的值增大（減小），再提示學生如何將這種變化情況表達出來．王老師通過一系列的本原性問題使學生突破了思維的瓶頸，讓學生感受到：通過用任意的點x1和x2的大小關系來判斷f（x1）和（x2）的大小關系，可以得到函數(shù)單調性的整體性質，這既讓學生理解了教師最終給出的嚴格的單調性定義，也讓學生體驗到了如何用局部的點的任意性推演到函數(shù)的整體單調的性質這一數(shù)學思想方法． 這種從形變化引導學生用數(shù)來表達，將數(shù)形結合思想無形中遁于具體的操作，讓學生在做中悟的做法很值得學習．

課本29頁?搖例題2教學處理環(huán)節(jié)的比較與評析

1. 周老師的教學處理

練習：畫出函數(shù)y=的圖象，并寫出單調區(qū)間．

學生：畫出圖象，寫出區(qū)間（－∞，0），（0，+∞）． 有學生輕輕說，好像應該是（－∞，0）∪（0，+∞）． 學生均表現(xiàn)出疑惑，陷入思考． 片刻后，

教師：究竟是（－∞，0），（0，+∞），還是（－∞，0）∪（0，+∞）？

教師（追問）：為什么？請說明理由．

學生：是（－∞，0），（0，+∞）． 因為取x1=－1，x2=1，則y1

教師：（例2）如何用函數(shù)的單調性證明y=在（0，+∞）是減函數(shù)？

（學生思索后，由學生敘述，教師板書，共同完成，總結證明步驟的四部曲）

教師：（變題）如何證明y=（k為正常數(shù)）在（0，+∞）上是減函數(shù)？

學生：對比例2的過程，進行證明．

教師：（趁機拋出課本29頁例題2）：物理學中的玻意耳定律p=（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大． 試用函數(shù)的單調性證明之．

學生：輕而易舉地將問題歸結為變題，輕輕松松解決了物理學中的問題，揭示了其數(shù)學本質．

教師：（變題）函數(shù)y=的單調性情況怎樣？

學生：要對k進行討論，分k>0和k0時，在區(qū)間（－∞，0），（0，+∞）上都是減函數(shù)；當k

2. 王老師的教學處理

與學生一起閱讀課本29頁例題2（略）后給出問題．

問題1：本例涉及了哪類函數(shù)模型？

學生：是反比例函數(shù)模型．

問題2：它的單調區(qū)間是什么？它們的單調性變化情況怎樣？

學生：定義域是（－∞，0）∪（0，+∞），所以有兩個單調區(qū)間（－∞，0），（0，+∞），因為k>0，所以在兩個區(qū)間上都是減函數(shù)． （部分學生反應敏捷，快速質疑，指出體積不能是負的）

學生：因為體積不為負，所以單調區(qū)間只有一個，在（0，+∞）上是減函數(shù)．

教師：及時點撥，提醒學生要注意實際問題需要滿足的條件．

問題3：那如何證明它在（0，+∞）上是減函數(shù)?

思考幾分鐘后，由一個學生主述，其他學生修正，教師板書，共同完成，并總結證明的四個步驟．

3. 觀點與評析

周老師先給出一道練習，回顧了反比例函數(shù)y=（x≠0）的圖象，應用了單調性的性質，并且將學生中出現(xiàn)的單調區(qū)間為（－∞，0）∪（0，+∞）的現(xiàn)象進行了說明．很自然地過渡到例2，證明y=在（0，+∞）是減函數(shù)．此題的解決對抽象的定義進行步驟化，使學生對定義有進一步的理解．改變y=的分子1為k，一道變題，將高度提升，含參數(shù)的題目，顧及學習能力強的一部分學生，這一變也揭示了玻意耳定律p=（k為正常數(shù)）的數(shù)學本質，完成了課本中的例題．最后將k的條件放開，引入分類討論的思想． 周老師通過變題，由一個基本問題變式而生成互相關聯(lián)的問題鏈，使學生學一道題，會一類題，有助于學生掌握解決這類問題的規(guī)律，并使原有的孤立的、零碎的知識整體化，促進對知識塊整體的認知，增強系統(tǒng)性和條理性，實現(xiàn)量與質的統(tǒng)一． 變題使得學生容易搞清相似的概念或題型情景間的聯(lián)系與區(qū)別，不至于混淆，加深了基本概念的理解；通過多問、多思、多用等激發(fā)學生思維的積極性和獨創(chuàng)性． 周老師設計的題目環(huán)環(huán)相扣，步步深入，整個過程猶如行云流水． 雖然課堂氣氛活躍，學生的思維訓練得到發(fā)展，但遺憾的是學生練習的題量不多，是不是落實到位很難檢測．

王老師先利用過渡語保持了課堂的自然與流暢，使物理問題在數(shù)學課堂上出現(xiàn)，讓學生體驗學科之間的融合． 王老師設計的3個問題緊緊圍繞著解決例題的核心因素，又充分關注思想方法（數(shù)學建模思想、轉化化歸思想等）的滲透，使解決問題的過程始終是在數(shù)學思想方法的指導下進行的． 問題1幫助學生理解、分析題意，舍棄與數(shù)學無關因素，建立函數(shù)模型，將問題抽象轉化成數(shù)學問題，梳理自變量和因變量之間的關系． 問題2指導學生在用數(shù)學方法解題時，碰到純數(shù)學和實際的約束條件有出入時，如何適當?shù)奶幚砗眠@兩者之間的關系． 對于問題3，在證明函數(shù)在（0，+∞）是減函數(shù)的處理上，王老師也始終不脫離本課的核心內(nèi)容，回歸到函數(shù)單調性的概念特征上去． 但是縱觀整堂課的過程，此題的處理與前后的銜接不是很自然，顯得有點孤立．

小結環(huán)節(jié)的比較與評析

1. 周老師的教學處理

小結：

1． 函數(shù)單調性的定義中有哪些關鍵點？

2． 判斷函數(shù)單調性有哪些常用方法？

3． 利用函數(shù)單調性證明的步驟有哪幾步？

2. 王老師的教學處理

本節(jié)課主要學習了以下內(nèi)容：

1． 單調函數(shù)的圖象特征；

2． 函數(shù)單調性的定義及其判斷方法；

3． 證明函數(shù)單調性的步驟.

3. 觀點與評析

周老師的小結以問題的形式讓學生對本節(jié)課講授的知識結構、主線進行歸納總結，加深對知識的鞏固，鍛煉學生的總結、概括能力． 王老師簡明扼要地幫助學生回憶所學的內(nèi)容，幫助他們進行知識梳理，辨清知識之間的聯(lián)系． 兩位老師都進一步強調這節(jié)課的重點和難點，幫助學生建立和完善他們的認知結構，提高他們解決問題的能力．

反思及對今后教學的啟示

古羅馬著名思想家普羅塔克曾經(jīng)說過：“學生不是一個需要添滿的罐子，而是一顆需要點燃的火種．” 兩位教師都在導入環(huán)節(jié)非常注重激發(fā)學生學習興趣與喚醒學習求知欲望，但好的導入還必須立足學發(fā)展區(qū)，緊扣教學重點與核心內(nèi)容，這樣才能在有效提升主體的內(nèi)驅動力的同時為更有效地達成教學目標服務，好的導入是成功的一半．

新課程的指導思想之一就是強調問題性、啟發(fā)性，指出遵循認知規(guī)律，以問題引導學習，在課堂中要以恰時恰點的問題引導數(shù)學活動，讓學生經(jīng)歷思想方法的產(chǎn)生過程． 兩堂課中都采用“問題鏈”形式給出有挑戰(zhàn)性的問題，很好地激發(fā)了學生的研究熱情，他們利用舊知，探討解決方案的同時產(chǎn)生了新知識、新方法，使數(shù)學學習成了一個再創(chuàng)適的過程． 問題式的對話不只是簡單的語言交流，而是我們要注重強調對“對話”空間和“對話”內(nèi)涵的拓展，真正激發(fā)學生的學習興趣，使學生的自主學習成為可能．好的問題能激活學生原有的知識結構，喚醒學生的運用意識．

篇3

關鍵詞： 高考 導數(shù) 函數(shù)

導數(shù)的應用部分是以高一時學習的函數(shù)單調性為前提的，直接講明判定可導函數(shù)增減性的方法，如果能利用好導數(shù)這個有效工具，便可以突破很多初等數(shù)學思想和方法上的局限，真正拓寬對數(shù)學問題的解決思路，簡化解題步驟和提高解題能力.為此，本文以四道高考的典型題目為例，分別從解題思路、步驟及適當?shù)耐卣沟确矫嫒胧郑怪哂羞B貫性和邏輯性.

一、高考數(shù)學考試中對導數(shù)應用的考查

1.利用導數(shù)研究函數(shù)性質

把導數(shù)當做研究函數(shù)問題的“利刃”，可解決有關極值、單調性等問題，結合導數(shù)的思想，熟練掌握一般的求解步驟：

首先求導，并求出駐點，接著以駐點為界點劃分定義域，最后在各區(qū)間內(nèi)確定其增減性并由此判斷出相應的極值.

首先，本題開門見山地給出了x≥0，a>0，因而ax+1>0.但是若沒有此條件的限制，在求解過程中則可能忽視函數(shù)的定義域，從而一下子擴大了討論范圍，最終造成分類情況增多，繼而出現(xiàn)錯誤.因此，在解決這類問題時要先求出函數(shù)的定義域，再往下繼續(xù)求解，這點務必注意.

由于含有參數(shù)a，故在求導之后，令f′（x）=0.找出分界點，并求出函數(shù)的增減區(qū)間，注意分類標準要統(tǒng)一，不能前后不一致，換句話說就是不能變換討論的對象.

二、結語

應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值、凸凹性、拐點等可以較準確地畫出中學階段的大部分函數(shù)圖像，為數(shù)形結合教學做好準備.只有真正理解導數(shù)的本質，考試時才能以不變應萬變.由此可見，在導數(shù)部分的學習和復習中，教師和學生要防止簡單將導數(shù)作為一種規(guī)則的步驟去學習，而不在理解思想性上動腦子的傾向.因此，教師和學生不應該把平時的訓練重點放在對函數(shù)導數(shù)的純技巧、高難度上，形成形式化的運算練習，而應當凸顯導數(shù)的價值性，從根本上增強對導數(shù)的應用意識.

參考文獻：

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[2]李長明.導數(shù)與微分[M].貴陽：貴州人民出版社，1987：74-77.

[3]王元明.數(shù)學是什么[M].長沙：東南大學出版社，2003：56-59.

[4]杜德懷.高等應用數(shù)學[M].蘇州：蘇州大學出版社，2007：20-22.

[5]上海市教育委員會.高等數(shù)學[M].上海：中國科學院印刷廠，2005：35-38.

篇4

1.知識與技能

能從文字、形與數(shù)三方面解釋說明增、減函數(shù)的概念及函數(shù)單調性的定義；初步學會利用函數(shù)圖像和定義判斷、證明函數(shù)單調性的方法。

2.過程與方法

結合生活實例及已學的特殊函數(shù)，通過對函數(shù)單調性定義的探究，體驗數(shù)形結合思想方法的運用；體會分類討論思想及集合語言的運用，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力；通過對函數(shù)單調性的應用，提高學生的推理論證能力。

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生感受從具體到抽象，從特殊到一般，從局部到整體，從感性到理性的認知過程。

[教學過程]

（一）創(chuàng)設情境

師：剛才通過大屏幕我們欣賞到了四季更迭，應該說季節(jié)的變換讓我們充分感受到自然之美，眾所周知這種色彩的演變源于溫度。今天就讓我們從溫度開始，進入今天的數(shù)學探索歷程。讓我們來看這樣一個問題。（用多媒體展示問題，老師身入同學中）

師：問題1：觀察沈陽市秋季某一天24小時，溫度隨時間變化的函數(shù)曲線。如圖，分析隨時間的逐漸推移，溫度的變化情況。

■

生：從零時至3時溫度下降，從3時至14時溫度上升，從14時至24時溫度下降。

師：很好。在這位同學清晰、準確的描述中，提到了兩個關鍵詞：上升與下降。（升高、降低）

師：請問：在我們學過的數(shù)學知識中，有沒有類似具有既上升又下降（升高、降低）或僅上升、僅下降的例子，誰能舉例？

生：一次函數(shù)的整體上是上升或是下降的，二次函數(shù)在對稱軸左右的升降是相反的。

生：反比例函數(shù)。

（演示學生提出的實例，在生動活潑的氛圍中，了解“上升與下降”圖形特征）

師：如此多（實例）熟知的函數(shù)，都具有這種特征，為了更好描述這些事物的這種共性，教材用了兩個字來形容，即“增、減”。若與函數(shù)相結合，我們就將這種具有“升高”或“降低”的特征函數(shù)，取名為“增函數(shù)”與“減函數(shù)”——統(tǒng)稱函數(shù)的單調性。這就是我們這節(jié)要研究的主要內(nèi)容。

（二）初步探索，展示內(nèi)涵

第一層：歸納（圖像特征）

師：由剛才溫度函數(shù)曲線，可迅速觀察出在某時間段上函數(shù)的“增、減”。若現(xiàn)在換個方向觀察（從右到左），能否說此時因函數(shù)圖像呈上升趨勢就在這個時間段上是增函數(shù)，呈下降趨勢就在這個時間段內(nèi)是減函數(shù)？

生：不行。

師：一旦改換觀察方向結果就大相徑庭，為此，在這里我們將觀察的方向作以統(tǒng)一規(guī)定。

第二層：數(shù)學符號表示

師：有了這個規(guī)定，由圖像觀察增、減函數(shù)簡單易行，但我們知道有些函數(shù)的圖像是難以畫出的，特別對于存在無限延展的圖像（例如二次曲線），更是受限于我們的視野及紙張等實際條件的約束，無法通過觀察來判斷遠處的增、減。所以急待尋找一種更為嚴格、通用、可行的方法來定義增、減函數(shù)?！靶巍彪y以完美體現(xiàn)的，數(shù)學中我們就用“數(shù)”來形容。今天我們就一同來嘗試用數(shù)的方式來體現(xiàn)圖形的增減，進而來定義增、減函數(shù)。

師：如何將數(shù)與形聯(lián)系在一起呢？如何用數(shù)體現(xiàn)形的增、減，現(xiàn)在我們借助以下的問題作以分析，從中你會有什么發(fā)現(xiàn)？

師：判斷1、根據(jù)問題1中的圖像，因為當1

生：錯。

師：為什么？

生：在[3，14]上為增函數(shù)，1與15不在這個區(qū)間內(nèi)。

師：很好。所以我們在表述增減時必須指明在同一區(qū)間內(nèi)才可以研究。（板書：區(qū)間）

師：判斷2、因為當8

生：錯。

生：對。（出現(xiàn)意見上的分歧，分組討論，派代表發(fā)言、演示）

師：判斷3、因為當t1

生：錯。

師：如何形容[3，14]上為增函數(shù)更準確？兩點不行、多個有限點也不行？那應該多少個點？

生：任意點。

師：哪上的任意點？

生：區(qū)間上的任意點。（教師板書：任意）

師：如何實現(xiàn)任取？由于取定點、定值是不可行了，必須取變點，需要取幾個變點呢？

（引導學生舍棄具體問題的實際意義，抽象得到函數(shù)單調性定義，幫助學生完成思維的飛躍）

生：兩點。

師：如何實現(xiàn)任取？看圖像，為方便我們從函數(shù)圖像中截取一段進行研究。

生：函數(shù)在某區(qū)間上任意兩點y隨x的增大而增大；則函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)；函數(shù)在某區(qū)間上任意兩點y隨x的增大而減??；則函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)。

（學生可借助已有的認知基礎很容易答出這樣的表述，在表述中讓各組暢所欲言，在對比中尋出更合理科學的表達方式。老師將有代表性的幾種定義方式用展示屏臺演示）

師：所有的定義方式都有哪些公共關鍵詞？

生：區(qū)間，任意，增大，減少。

師：現(xiàn)在我們以這里面公認最優(yōu)的這一定義表述為基礎，如何用數(shù)學符號來表達？

生：對于函數(shù)f（x）的某個區(qū)間M上的任意兩個自變量的值x1，x2，

（1）當x1

（2）當x1f（x2），則說f（x）在這個區(qū)間M上是減函數(shù)。

師：形容增、減有沒有其他方式？

師：1到1.5如何去形容它們間的增，反之如何形容它們的減？（引入增量）

生：作差比較，差為正值時為增，差為負值時為減。

師：改變量定義：Δx=x2-x1，表示自變量x的改變量；Δy=f（x2）-f（x1），Δy表示因變量y的改變量。

師：板書概念：設函數(shù)的定義域為A，區(qū)間MA. 如果取區(qū)間M中的任意兩個值，

（1）當改變量Δx=x2-x1>0時，有Δy=f（x2）-f（x1）>0，那么就稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間M上是增函數(shù)。

（2）當改變量Δx=x2-x1>0時，有Δy=f（x2）-f（x1）

（3）單調性與單調區(qū)間

若函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或減函數(shù)，則說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間M上具有單調性，這一區(qū)間M叫做函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間。

師：科學定義有哪些關鍵詞，有何特征？

生：“定義域、區(qū)間、任意”“同號則增，異號則減”即“同增異減”。

（三）循序漸進，延伸拓展

師：例1、如圖，定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f（x）的圖像，根據(jù)圖像說出y=f（x）的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)。

■

生：函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間有[-5，-2），[-2，1），[1，3），[3，5]，其中y=f（x）在區(qū)間[-5，-2），[1，3）上是減函數(shù)，在區(qū)間[-2，1），[3，5]上是增函數(shù)。（小結判斷函數(shù)單調區(qū)間的方法：從左至右）

師：例2、判斷以下函數(shù)在定義域上的單調性，并加以證明。①f（x）=3x+2；

生：解：在R上為增函數(shù)；

證明：任取x1，x2∈R，且x1

則Δx=x1-x2>0

Δy=f（x2）-f（1）=（3x2+2）-（3x1+2）——作差

=3（x1-x2），——變形

Δx>0 Δy>0——判號

f（x）=3x+2在R上是增函數(shù)?！ㄕ?/p>

歸納解題證明步驟：設元、作差、變形、判號、定論。

師：②f（x）=x2

生：解：在（-∞，0]上為減函數(shù)，（0，+∞）上為增函數(shù)

（兩組證明（-∞，0]，兩組證明[0，+∞），以競爭機制提高效率）

生：證明：①任取x1，x2∈（0，+∞），且x10，

Δy=f（x2）-f（x1）=x22-x12=（x2-x1）（x2+x1）>0，

f（x）=x2在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)。

②任取x1，x2∈（-∞，0]，且x10，

Δy=f（x2）-f（x1）=x22-x12=（x2-x1）（x2+x1）

f（x）=x2在區(qū)間（-∞，0]上是增函數(shù)。

師：你在證明中出現(xiàn)了哪些疑難？同學是如何將你的疑難解決的？

生：①出現(xiàn)x22-x12如何去解釋：有理有據(jù)，不能評經(jīng)驗。

②單調區(qū)間的表示，不要寫成范圍，應寫成區(qū)間。

（四）歸納總結，內(nèi)化知識

由學生自己總結，再由師生共同歸納完善。

篇5

一、溫故知新，在對話中生成新課

奧蘇貝爾認為：“影響學習最重要的因素是學生己知的內(nèi)容，弄清了這一點之后，進行相應的教學?！被仡櫝踔袑W習過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，學生隨意選定以上幾個函數(shù)的具體解析式，利用幾何畫板軟件畫出相應的函數(shù)圖像。教師：請同學們結合自己畫出的圖形，觀察所畫•34•函數(shù)圖像的升降變化，并說說自己的看法。學生1：從左至右看，一次函數(shù)的圖像是上升的。學生2：從左至右看，二次函數(shù)在Y軸左側是下降的，在Y軸右側是上升的。學生3：從左至右看，反比例函數(shù)的圖像在Y軸兩側是下降的。教師：比較所畫的函數(shù)圖像的升降變化情況，說一說它們的不同點。在這里，教師啟發(fā)、鼓勵學生暢所欲言，進行交流和討論，表達出自己的看法。學生4：所畫的圖像有上升的，也有下降的。教師：那么它們上升或下降的范圍有多大?學生5：可能是定義域上，也可能是定義域的某個區(qū)間。教師：所畫的函數(shù)圖像升降變化，不同函數(shù)相應升降變化區(qū)間各不一樣，表現(xiàn)為：在某些區(qū)問上升，某些區(qū)間下降。我們常說：“數(shù)學是有用的，數(shù)學是自然的?！睂W生運用已有的知識，利用幾何畫板軟件繪圖，并從圖像變化中獲取對函數(shù)單調性的直觀感知，建立數(shù)與形的結合，溫故知新，符合學生的認知規(guī)律。這里，不同層次的學生親身經(jīng)歷了做數(shù)學實驗的過程，通過人機互動，實現(xiàn)了實踐性對話。教師更多地啟發(fā)學生輸入具體函數(shù)解析式，親自動手操作，在動態(tài)狀態(tài)下觀察圖像的變化趨勢以及升降特點，體會某一種函數(shù)在不同區(qū)間上的變化差異。此時，“教師越來越少地傳遞知識，越來越多地激勵思考”，通過與學生對話，新的教學內(nèi)容不斷地生成與轉化，師生共同分享理解新知識。

二、創(chuàng)設多元聯(lián)系表示形式，在交流中重組，并建構單調函數(shù)概念

華羅庚說：“形缺數(shù)時難人微，數(shù)缺形時少直觀?！币院瘮?shù)g(X)=X為例。教師：函數(shù)g(X)=X圖像在Y軸右側是上升的，在函數(shù)g(X)=X圖像上任找一點P“按橫坐標(即自變量)X增大”的方式移動時，點P的縱坐標(即函數(shù)值)Y的變化規(guī)律如何?教師指導學生利用幾何畫板軟件的“度量坐標”功能，在函數(shù)g(X)=X圖像上任找一點P并拖動它，測出其坐標。學生自主觀察，并思考問題。學生6：在Y軸右側，拖動點P，隨著自變量x的增大，函數(shù)值Y也增大。師生間、學生間相互溝通，相互補充，達成共識，總結規(guī)律后，給出增(減)函數(shù)的自然語言描述。學生7：在某個區(qū)間I上，若隨著自變量X的增大，函數(shù)值y也增大；在區(qū)間I上，若隨著自變量X的增大，函數(shù)值y減少。在這里，學生學會用自然語言描述圖像“上升”、“下降”的特征，學生對單調函數(shù)概念的學習，從定性分析過渡到定量分析，從直觀認識過渡到數(shù)學符號表述。教師指導學生利用幾何畫板軟件進行如下操作：(1)在區(qū)間[0，+oo)上，從0開始，拖動點P，每隔0．1秒取一個自變量的值，算出其對應的函數(shù)值表(如圖1(1)所示)。(2)在區(qū)間[0，+oo)上，從2開始，拖動點P，每隔0．5秒取一個自變量的值，算出對應的函數(shù)值表(如圖1(2)所示)。(3)在區(qū)間[0，+oo)上，從5開始，拖動點P，每隔1秒取一個自變量的值，算出其對應的函數(shù)值表(如圖1(3)所示)。(4)在區(qū)間[0，+。。)上，從0開始，拖動點P，任選一個自變量的值作起點，隨機地取一批自變量的值，算出其對應的函數(shù)值表(如圖1(4)所示)。教師：結合以上的實驗操作，觀察以上表格中，自變量X的值從小到大變化時，函數(shù)值Y是如何變化的。學生通過自己動手操作進行嘗試，得到對應的函數(shù)值表，進行數(shù)據(jù)分析，各自表述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。教師及時抓住時機，鼓勵學生大膽用自己的語言回答問題，教師加以糾正和引導，并給予評價，形成正確的結論：任選兩個自變量的值，自變量大的函數(shù)值也大。教師：由于剛剛所驗證的是一些具體的有限個的自變量的值，如果任意給出一些[0，+O0)上的x，X的值，當X<x時，能否驗證都有X<X；呢?學生8：如果給出具體數(shù)值，容易驗證，但區(qū)間內(nèi)的值有無限個。學生陷人思考之中，不知如何是好。一會兒后，有學生提出：不給X，X賦具體數(shù)值，當X<X時，驗證X<X成立，行嗎?學生9：太好了，這就體現(xiàn)X，X：取值的任意性了。學生10：若x<x；成立，轉化為驗證X一X；<0即可。此時，課堂氣氛也活躍起來，大家進行熱烈討論，教師參與其中，師生在相互傾聽和接納過程中，更好地理解知識和珍視差異。學生11(交流討論后)：事實上，。．‘x1+x2>0，X1一X．<0．‘．f(X1)一f(X2)=X—X=(X1+X2)(Xl—X2)<0，得X<X即f(X1)<f(X2)。以上表述過程，教師引導學生用函數(shù)解析式來描述。再次操作確認，通過邏輯推理，從理論上給出單調函數(shù)定義形式化的表達。正如波利亞在《怎樣解題》中提到的：“嚴格表述的數(shù)學是一門系統(tǒng)的演繹科學，但在形成過程中的數(shù)學則是一門實驗性的歸納科學?！苯處煟何覀儼丫哂泻瘮?shù)值隨著自變量的增大而增大這種性質的函數(shù)叫增函數(shù)。教師：我們應如何定義增函數(shù)?教師進一步從具體函數(shù)g(X)=X延伸到一般函數(shù)Y=f(X)，引導學生討論、交流，說出各自的想法，并進行分析、評價，完善后給出增函數(shù)的定義，從具體到一般引出增函數(shù)的定義。教師：從函數(shù)圖像上可以看到，函數(shù)g(X)=X在Y軸左側是下降的，類比增函數(shù)的定義，你能概括出什么結論?學生通過觀察、驗證，討論、交流，師生共同得出減函數(shù)的定義，由此培養(yǎng)學生的類比能力。教師：大家能分析一下增(減)函數(shù)定義中的要點嗎?教師首先讓學生自主閱讀課本中的概念，尋找增(減)函數(shù)定義的要點，在此基礎上，教師指導學生體會定義中關鍵字、詞和句，如：“某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值”、“都有”等。學生l2：我們能說函數(shù)g(X)=X在X=0是增函數(shù)嗎?學生13：不行吧，概念中指明單調區(qū)間內(nèi)取值。教師：非常好，說明大家閱讀是比較認真的，函數(shù)在某一個點處是沒有單調性的。通過定義分析，實現(xiàn)師生和文本對話，學生把定義與圖形結合起來，使新舊知識融為一體，加深對單調函數(shù)概念的理解，同時也滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想。

三、深入自主探究，在共享中鞏固并倍增新知

教師：請同學們利用幾何畫板軟件，畫出函數(shù)Y=X一3x一9x在(一3，5)內(nèi)的圖像，并指出它的單調區(qū)間。教師：現(xiàn)在我們來思考必修一課本中的探究題：•36•函數(shù)f(x)=的定義域I是什么?它在定義域I上的單調性是怎樣的?你能用定義證明自己的結論嗎?學生14：定義域I是(一∞，0)u(0，+。。)，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)。學生15：好像不對吧，從函數(shù)圖像上看，從左至右，它的圖像不是一直下降的。學生16：現(xiàn)取兩個值，X=一1，X：=1，可得f(X1)=一1，f(X2)=1此時X1<X2，f(X1)<f(X2)。學生一下子感覺茫然了，找不出問題關鍵所在。教師：回到定義，大家是否注意到這樣的話：“某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值”，這里任意兩個自變量的值是否應該在同一個單調區(qū)間來取值呢?如何更_tY_．fl0才獲得的結論呢?學生17：函數(shù)f(X)在區(qū)間(一∞，0)和(0，+∞)上是減函數(shù)。教師：回答很好。如何證明你們的結論呢?學生18(交流討論后)：任取0<x<x2，所以x一x1>0，X1‘2>0則f(x1)一f(x2)=一=>o所以函數(shù)f(X)在區(qū)間(0，+∞)上是減函數(shù)，同理可證，函數(shù)f(X)在區(qū)間(一o。，0)也是減函數(shù)。教師：以上題目的解題過程，請大家概括一下用定義證明一個函數(shù)是某個區(qū)間上的增(減)函數(shù)的一般步驟。學生(協(xié)作討論)：取值一作差一判斷符號一得出結論。

四、回顧總結

篇6

一、進一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學習集合的基礎上，接著重新學習函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來更深刻地認識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個數(shù)集A（定義域）到數(shù)集B上的對應f：AB，使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對應，記為f（x）=ax+bx+c（a≠0）。這里ax+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在集合B中的對應元素，從而使學生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

題型I：已知f（x）=2x+x+2，求f（x+1）.

這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

題型Ⅱ：設f（x+1）=x-4x+1，求f（x）.

這個問題理解為，已知對應法則f下，定義域中的元素x+1在集合B中的對應元素為x-4x+1，求定義域中元素x的在集合B中的對應元素，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x+1的多項式。

f（x+1）=x-4x+1=（x+1）-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x-6x+6.

（2）變量代換：它的適應性強，對一般函數(shù)都適用。

令t=x+1，則x=t-1，所以f（t）=（t-1）-4（t-1）+1=t-6t+6，從而f（x）=x-6x+6.

二、二次函數(shù)的單調性、最值與圖像

在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）在區(qū)間（-∞，-］及［-，+∞）上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學生配以適當?shù)木毩暎箤W生逐步自覺地利用圖像學習與二次函數(shù)有關的一些函數(shù)的單調性。

題型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖像，并通過圖像研究其單調性。

（1）y=|x+2x-1|?搖（2）y=x+2|x|-1

這里要使學生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)表示，然后畫出其圖像。

題型Ⅳ：設f（x）=x-2x-1在區(qū)間［t，t+1］上的最小值是g（t），求：g（t），并畫出y=g（t）的圖像.

解：f（x）=x-2x-1=（x-1）-2，在x=1時取最小值-2

當1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=-2

當t＞1時，g（t）=f（t）=t-2t-1

當t＜0時，g（t）=f（t+1）=t-2

g（t）=t-2，（t＜0）-2，（0≤t≤1）t-2t-1，（t＞1）

首先要使學生弄清楚題意。一般的，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。

如：y=x-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數(shù)的值域.（可適當改變區(qū)間）

三、二次函數(shù)的知識，可以準確反映學生的數(shù)學思維

題型Ⅴ：設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=2x+（x-a）|x-a|.

（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；

（2）求f（x）的最小值；

（3）設函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接寫出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集.

解析：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質、圖像及解一元二次不等式等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。

（1）若f（0）≥1，則-a|a|≥1?圯a＜0a≥1?圯a≤-1

（2）當x≥a時，f（x）=3x-2ax+a，f（x）=f（a），a≥0f（），a＜0=2a，a≥0，a＜0

當x≤a時，f（x）=x+2ax-a，f（x）=f（-a），a≥0f（a），a＜0=-2a，a≥02a，a＜0

綜上f（x）=-2a，a≥0，a＜0

（3）x∈（a，+∞）時，h（x）≥1得3x-2ax+a-1≥0，=4a-12（a-1）=12-8a，

當a≤-或a≥時，≤0，x∈（a，+∞）；

當-＜a＜時，＞0，得：（x-）（x-）≥0x＞a

討論得：當a∈（，）時，解集為（a，+∞）；

當a∈（-，-）時，解集為（a，］∪［，+∞）；

當a∈［-，］時，解集為［，+∞）.

篇7

數(shù)學教學過程總是充滿了矛盾，如教與學的矛盾、學生認知特點與數(shù)學學科特點的矛盾、學生認知發(fā)展水平與數(shù)學教學內(nèi)容的矛盾等.有矛盾才能有發(fā)展，其中，學生現(xiàn)有的知識基礎、能力水平與教學要求之間的矛盾是數(shù)學教學的決定性動力.作為教師，應努力做到敏銳地發(fā)現(xiàn)、深刻地認識各種矛盾，進而在教學中科學合理地暴露、“創(chuàng)設”甚至“激化”矛盾，以幫助學生在解決矛盾的過程中發(fā)展自己的認知結構、提升自己的數(shù)學素養(yǎng)，這可以充分體現(xiàn)出教師的專業(yè)水平、教學能力與教學智慧.

“函數(shù)的單調性”是反映函數(shù)變化規(guī)律的一個最基本的性質，是學生學習了函數(shù)概念后研究的第一個函數(shù)性質，也是學生在高中階段遇到的第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念，對學生進一步學習函數(shù)的其它性質具有示范和引領作用.本節(jié)課匯集了數(shù)學教學的諸多矛盾，如何在教學中處理好這些矛盾，特別是其中的主要矛盾，對每個數(shù)學教師都是一項極具挑戰(zhàn)性的任務.筆者認為，“函數(shù)的單調性”教學，關鍵是要深刻認識、科學處理以下“三個矛盾”.1 “上升”、“下降”、“單調”等名詞的數(shù)學意義與學生的生活理解之間的矛盾

“函數(shù)的單調性”教學，通常是從現(xiàn)實生活入手――展示某地某天的氣溫變化圖、舉出生活中描述“升降”變化規(guī)律的成語（如蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏）并畫出相應的函數(shù)圖象等，然后讓學生觀察得到：函數(shù)圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢，而在另一個區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢，此時教師指出：函數(shù)圖象的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個基本性質――單調性，接下來引導學生用自然語言進行描述，并體驗單調性是函數(shù)的局部特征（教師可在此處提前介紹“增函數(shù)”、“減函數(shù)”、“單調區(qū)間”等名詞）.

這里，“上升”、“下降”、“單調”的數(shù)學意義與學生在日常生活中的理解有一定的“矛盾”：在生活中，若從A到B是“上升”，則從B到A就是“下降”，如同“上坡”“下坡”那樣，僅僅考慮了鉛垂方向；而在數(shù)學中，若x增大時y也隨之增大，則稱函數(shù)y=f（x）“上升”，若x增大時y隨之減小，則稱函數(shù)y=f（x）“下降”，是水平與鉛垂這兩個方向的“合成”.在生活中，“單調”是指“重復而缺少變化”；而在數(shù)學中，“單調”是指“隨著自變量的增大，函數(shù)值始終增大或始終減小”，是不斷變化的.對此，有些學生可能會因區(qū)分不清而產(chǎn)生錯誤理解.例如，對于函數(shù)y=x2（x≥0），有學生認為：x由小到大時，y是“上升”的，x由大到小時，y是“下降”的；又如，對于函數(shù)y=2，有學生認為它是“單調”的，理由是“y始終沒有變化”.

因此，在本節(jié)課的教學中，教師應明確地指導學生將數(shù)學名詞與日常概念區(qū)分開：

（1）對于同一段函數(shù)圖象來說，在數(shù)學上它究竟是“上升”還是“下降”，應該是確定的，不能產(chǎn)生歧義.因此，我們選擇x軸正方向作為參照，從左往右，沿著圖象“策馬前行”，函數(shù)圖象的“上升”“下降”就有了統(tǒng)一的規(guī)則和統(tǒng)一的結論；

（2）數(shù)學上的“單調”，其本身也含有“重復而缺少變化”的意味，但它不是指函數(shù)值始終保持不變，而是指函數(shù)在某個區(qū)間“上升”“下降”（或“增加”“減少”）具有不變的規(guī)律性，反映的是一種“變中的不變性”，當然也顯得“單調”.

2 學生已有的知識基礎和認知習慣與新知學習的必要性之間的矛盾

我們知道，“精確定量思維方式”是數(shù)學教育所能給予學生的最重要和最基本的數(shù)學素質，也是培養(yǎng)學生理性精神的最好體現(xiàn).在高中階段，“函數(shù)的單調性”定義之所以要進一步符號化（形式化），正是基于數(shù)學精確化、嚴謹性的要求.只有這樣，學生才可以通過準確的計算進行推理論證，以保證結論的嚴密性，在此過程中逐漸培養(yǎng)并形成“算法的思維”.

然而，學生在初中已經(jīng)接觸過一次、二次、反比例函數(shù)，對函數(shù)的單調性已經(jīng)初步有了直觀形象的認識：圖象從左往右上升（y隨x的增大而增大）是增函數(shù)，圖象從左往右下降（y隨x的增大而減?。┦菧p函數(shù).他們會覺得這種定義通俗易懂、易于接受，用它解決函數(shù)的單調性問題時也沒遇到過什么困難，進而產(chǎn)生疑問：為什么還要費盡周折地去學習符號化（形式化）定義呢？豈不是“多此一舉”！學生一旦在心理上排斥新知，那么教與學的效果都將大打折扣，這是一個很重要的問題.

因此，在學習抽象的定義之前，教師應針對性地設置“認知沖突”，以便讓學生充分體驗到學習新知的必要性，增強研究的興趣和積極主動性.例如，可讓學生依據(jù)函數(shù)單調性的圖象特征或自然語言描述，嘗試判斷函數(shù)y=x+1x在[1，+∞）內(nèi)的單調性.由于學生對該函數(shù)的圖象性質并不熟悉，因此無法判斷函數(shù)圖象呈現(xiàn)什么樣的變化趨勢，也難以根據(jù)函數(shù)解析式描述其變化規(guī)律.此時，學生就會自然意識到自己知識上的欠缺，認識到用精確的數(shù)學語言刻畫定義的必要性，從而進入一種“憤悱狀態(tài)”，產(chǎn)生較強勁的學習動力.

3 學生現(xiàn)有的思維水平與函數(shù)單調性定義的思維要求之間的矛盾

這是本節(jié)課教學的核心矛盾.剛進入高一的學生，其思維處于從經(jīng)驗型水平向理論型水平轉變的階段，仍然偏于簡單化、直觀化，邏輯思維水平不高，抽象概括能力不強.函數(shù)單調性的定義，是數(shù)學概念形式化的典型案例，具有高度的抽象性.從“隨著x增大，y也增大”這一自然語言轉換到“對于某區(qū)間上任意的x1<；x2，有f（x1）<；f（x2）”這一數(shù)學符號語言，跳躍性較大，學生非常不習慣，特別是為什么要用“任意”二字，在區(qū)間上“任意”取兩個大小不等的x1<；x2，通過比較f（x1）與f（x2）的大小來刻畫函數(shù)的單調性，學生更是感到難以理解，容易產(chǎn)生思維障礙.

為此，教師應精心設置一系列問題，讓學生充分參與函數(shù)單調性定義的符號化過程，感悟數(shù)學的研究方法，積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗.首先，要緊緊抓住新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系，使得形式化定義是在文字語言描述的基礎上自然“生長”出來的，而不是“天上掉下個林妹妹”.其次，對于單調性概念中“自變量不可能被窮盡”這一本質（也是難點），應及時喚醒學生已有經(jīng)驗，使他們自然想到用“任意”突破“無限”.最后，對于學生中出現(xiàn)的錯誤認識，應引導他們結合具體例子（最好是由學生自己舉出）、分別用圖形語言和文字語言進行辨析，以逐步形成對概念正確、全面而深刻的理解.

以下是筆者施教這一環(huán)節(jié)時的具體設計：

問題1 如何用符號化的數(shù)學語言來表述“當x增大時，函數(shù)值f（x）隨之增大”？

教師引導學生分析其中的關鍵詞“增大”的含義及其符號表示，得出：增大，刻畫的是一種相對性，說明第二個量比第一個量大，它是兩個數(shù)值之間的大小比較.因此，可將x的第一個取值記為x1，第二個值記為x2，則將文字語言“當x增大時，函數(shù)值f（x）隨之增大”用符號語言表示即為“當x1<；x2時，f（x1）<；f（x2）”.

問題2 能否取滿足x1<；x2的若干組具體數(shù)值，只要驗證相應的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以斷定函數(shù)f（x）的單調性？

教師應盡量放手讓學生思考討論，若學生作肯定回答，則追問“為什么”；

若學生作否定回答，則讓其舉出反例，以不斷完善學生的認知結構，必要時教師應進行引導：

以函數(shù)f（x）=x2（x∈R）為例，由于自變量x的取值“無限”，因此，不論驗證多少次也無法窮盡.雖然當-1<；2<；3<；…時，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但這并不能保證f（x）=x2（x∈R）的圖象從左往右始終“上升”.可見，具體驗證是不可靠的.

問題3 在此之前，你有沒有遇到過“無法窮盡”的情況？當時是怎么處理的？

教師引導學生回憶“子集”的證明方法：設A、B是兩個無窮集合，要證明AB，逐一驗證A中的每一個元素都屬于B是不可能的，于是，為了突破“無限”這個障礙，就一般性地“任取”一個元素x∈A，只要能證明x∈B就行了.

至此，學生不難理解，在函數(shù)f（x）的單調性中，x1、x2也應該是“任意”的.

問題4 設區(qū)間D是函數(shù)f（x）的定義域I內(nèi)的某個區(qū)間，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）來刻畫函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)、減函數(shù)呢？

學生嘗試用數(shù)學符號語言表達單調增（減）函數(shù)的定義，師生共同修正.在此過程中，學生可能會有一定的模仿的成分，這也是一種內(nèi)化的過程，對初學者來說是正常的，也是必要的.

問題5 請你嘗試利用上述定義判斷函數(shù)y=x+1x在[1，+∞）內(nèi)的單調性.

這是對前述“遺留問題”的呼應，由學生盡量獨立完成，教師可在“作差”、“變形”等關鍵環(huán)節(jié)適時予以指導，解決該問題后，師生共同概括出用定義證明函數(shù)單調性的一般步驟.顯然，由之前的“不能”到現(xiàn)在的“能”，既加深了學生對定義的理解與掌握，也體現(xiàn)了定義的應用價值，學生從中可以獲取成功的學習體驗和心理上的滿足感.

問題6 判斷下列說法是否正確，并說明理由.

（1）設函數(shù)y=f（x）的定義域為[0，+∞），若取x1=0，且對于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），則f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；

（2）下圖是三個分段函數(shù)（定義域均為R）的圖象，它們都是R上的增函數(shù)；

（3）反比例函數(shù)y=1x的單調遞減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）.

篇8

1. 幾何方面的應用 在導數(shù)概念的基礎上，結合函數(shù)圖像來研究導數(shù)的幾何意義是導數(shù)概念的延伸，是導數(shù)知識的重要內(nèi)容。導數(shù)是微積分中的重要基礎概念，當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個函數(shù)存在導數(shù)時，稱這個函數(shù)可導或者可微分?？蓪У暮瘮?shù)一定連續(xù)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導。

在解析幾何中，我們求曲線的切線，只需要知道曲線的方程y=f（x）和曲線上的任意一點，利用對函數(shù)求導就可以得到這一點的切線方程。

下面給出求曲線的切線方程的方法步驟：

（1）求導數(shù)，得到曲線在該點的切線的斜率；（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，利用點斜式求出切線方程：y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）

例1. 試求曲線y=xlnx上點（1，2）的切線方程

解： 對函數(shù)f（x）=xlnx

求導得f'（x）=lnx+1

所以f'（1）=ln1+1=1，所以在點（1，2）的切線方程為

y-2=1（x-1）

即 y=x+1

切線方程： y=x+1

先求出函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導數(shù)，即曲線在該點處的切線斜率，再由直線方程的點斜式便可求出切線方程。

例2. 求垂直于直線2x-6y+1=0并且和曲線y=x3+3x2-5相切的直線方程。

解 因為所求的直線與已知直線2x-6y+1=0垂直

所以所求直線的斜率 k1=-3

又因為所求直線與y=x3+3x2-5相切，

所以它的斜率 k2=y'=3x2+6x

因為k1=k2 即 3x2+6x=-3

所以（x+1）2=0 即 x=-1

代入曲線方程得 y=（-1）3+3（-1） 2-5=-3

所以切點為 （-1，-3）

故所求直線方程為y+3=-3（x+1）即3x+y+6=0 。

2. 在函數(shù)方面的應用 運用導數(shù)知識研究函數(shù)性質的試題，研究對象已經(jīng)突破了單純的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等命題常以復合的函數(shù)形式出現(xiàn)。

2.1 函數(shù)單調性的討論。（1）利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性。函數(shù)的單調性是函數(shù)最基本的性質之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識。通常用定義來判斷，但當函數(shù)表達式較復雜時判斷f（x1）-f（x2）正負較困難。運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調性時，只需求出f'（x） ，再考慮f'（x）的正負即可。此方法簡單快捷而且適用面廣。

利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，這是導數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想。

一般地，在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f'（x）>0 ，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調遞增；如果f'（x）<0 ，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調遞減。

如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'（x）=0 ，則f'（x）是常函數(shù)。

注意：在某個區(qū)間內(nèi)， f'（x）>0 是f'（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件。

（2）求函數(shù)y=f（x）單調區(qū)間的步驟。

①確定y=f（x）的定義域；

②求導數(shù)解f'（x）=0 此方程，求出它們在定義域區(qū)間內(nèi)的一切實數(shù)根。

③當f'（x）>0時， y=f（x）在相應區(qū)間上是增函數(shù)；當f'（x）<0時， y=f（x）在相應區(qū)間上是減函數(shù)。

例3. 判定函數(shù)y1=x3-x和y2=x3+x在（-∞，+∞）上的增減性。

解： y'1=3x2-1=3（x+13）（x-13）

當y'1>0 得 x<-13或x>13

當y'1<0 得 -13

所以y1=x3-x在（-∞，-13）和（13，+∞）內(nèi)單調遞增，在（-13，13）內(nèi)單調遞減。

因為y'2=3x2+1>0 ， 故y2=x3+x在（-∞，+∞）上單調遞增。

2.2 函數(shù)的極值的求法。

例4.求函數(shù)f（x）=13x3-4x+4的極值。

解：因為 f（x）=13x3-4x+4，所以f'（x）=x2-4=（x-2）（x+2） 。

令f'（x）=0 ，解得x=2或x=-2 。

下面分兩種情況討論：

（1）當f'（x）>0 ，即x >2或x <-2時；

（2）當f'（x）<0 ，即-2

當x變化時，f'（x） ，f（x） 的變化情況如下表：

因此，當x=-2 時， f（x）有極大值，并且極大值為f（-2）=283 ；

當x=2 時， f（x）有極小值，并且極小值為f（2）= -43。

點評：求可導函數(shù)的極值的步驟可歸納為：

（1）求導數(shù)f'（x） ；

（2）求方程f'（x）=0 的根；

（3）檢查f'（x） 在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x） 在這個點處取得極大值；如果左負右正，那么f（x） 在這個點出取得極小值。

2.3 函數(shù)的最值求法。極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質。在解決實際問題或研究函數(shù)的性質時，我們更關心函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個值最大，哪個值最小。當然函數(shù)在某個區(qū)間上一定是連續(xù)的不斷的曲線，它必有最大值和最小值。

例5. 求函數(shù)y=cos2x+cosx+1 的極值和最值。

解： y'=-2cosxsinx-sinx ，

令y'=0 得 sinx（2cosx+1）=0

解得sinx=0或cosx=- 12， 由sinx=0 可得：

cosx=1或cosx=-1 ，因此，

當cosx=- 12 時，得y極小 = 34；

當 cosx=1時， 得 y極大=3；

當cosx=-1 時，得y極大=1 。

則ymax =3， ymin= 34

最值問題是高中數(shù)學的一個重點，也是一個難點。它涉及到了高中數(shù)學知識的各個方面，要解決這類問題往往需要各種技能，并且需要選擇合理的解題途徑。用導數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，學生也好掌握.應注意函數(shù)的極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，極值是一個局部性概念，最值是某個區(qū)間的整體性概念。

一般地，求函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：

（1）求 f（x）在（a，b） 內(nèi)的極值；

（2）將 f（x）的各極值與端點處的函數(shù)值f（a），f（b） 比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，從而得出函數(shù)f（x） 在[a，b] 上的最值。

3. 利用導數(shù)解決實際優(yōu)化問題 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題，也稱為最值問題。解決這些問題具有非?，F(xiàn)實的意義。這些問題通常可以轉化為數(shù)學中的函數(shù)問題，進而轉化為求函數(shù)的最大（?。┲祮栴}。

例6.有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合建一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每千米500元和700元，問水廠應設在河邊的何處，才能使水管費用最??？

解：設水廠D點與乙城到岸的垂足B點之間的距離為x千米，所需水管總費用為y元，

則y=500（50-x）+700 x2+402=25000-500x+700 x2+1600，

y'=-500+700x12（x2+1600）-122x=-500+700x x2+1600，令 y'=0，解得 x=50 63

當x∈[0，50 63） 時，y'<0 ；當x∈[50 63，50） 時，y'>0 ，所以當 x=50 63時， y'取得極小值，也是最小值。

答：水廠建在距甲距離為50-50 63 千米時，所需水管費用最省。

解決實際應用問題的關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)，把“問題情景”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關系，并把得主要關系近似化、形式化、抽象成數(shù)學問題。再化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法解題。

“生活中的優(yōu)化問題舉例”實際上是求實際問題的最大（小）值，其主要步驟如下：

（1）列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中的變量之間的函數(shù)關y=f（x）系 ；

（2）求函數(shù)的導函數(shù)f'（x） ，解方程f'（x）=0 ；（3）比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f'（x）=0 的點的函數(shù)值的大小，最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲?。

導數(shù)在高中數(shù)學中只能介紹一些簡單的應用。對于高中學生，這一部分內(nèi)容不能挖掘太深，因為導數(shù)的引入，本質上就是將初等數(shù)學中一些高難度、繁雜的問題簡化。但也要求學生對該部分內(nèi)容要掌握其實質，弄清楚與其他各章節(jié)內(nèi)容的聯(lián)系。從解決上述三個方面的應用中可以看到，導數(shù)在應對復雜的數(shù)學問題時，感覺有入手易，過程簡便的優(yōu)勢，它的最終目的還是考查函數(shù)的性質。所以我們不僅要掌握導數(shù)的概念，求導的公式和求導的法則及其簡單應用，包括求函數(shù)的極值、單調區(qū)間。證明函數(shù)的增減性等，還要學會把導數(shù)與其它知識相結合，去尋找求一些復雜問題的簡單解法。

參考文獻

[1] 普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》選修2-2A版，人民教育出版社

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思維品質包括思維的深刻性、嚴密性、靈活性、敏捷性、獨立性等。如何有效地培養(yǎng)學生的思維思維品質呢？我在教學實踐中作了一些探索：

一、思維深刻性的培養(yǎng)

函數(shù)作為數(shù)學教學的主線，貫穿于數(shù)學的始終。函數(shù)的定義域是構成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。在解函數(shù)題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數(shù)學思維品質是十分有益的。函數(shù)單調性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調性必須在給定的定義域區(qū)間上進行。

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調性，就說明學生對函數(shù)單調性的概念一知半解，沒有理解，在做練習或作業(yè)時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。

二、思維嚴密性的培養(yǎng)

函數(shù)關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數(shù)的關系式時必須要考慮所求函數(shù)關系式的定義域，否則所求函數(shù)關系式可能是錯誤。如：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：

S=X(50-X)故函數(shù)關系式為：S=X(50-X) ．

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關系式還欠完整，缺少自變量 的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量 取負數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負數(shù)，即矩形的面積為負數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量 的范圍：0

即：函數(shù)關系式為： S=X(50-X)（ 0

這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現(xiàn)出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴密性。

三、思維靈活性的培養(yǎng)

思維的靈活性指善于根據(jù)事物的發(fā)展變化，及時地用新的觀點看待已經(jīng)變化了的事物，并提出符合實際的解決問題的新設想、新方案和新方法。 實踐證明講什么練什么的單一反饋模式易使學生形成錯誤定勢，不利于學生知識的掌握，技能的形成和素質的發(fā)展。因此應重視對學生進行多角度的類比訓練，使學生舉一反三，觸類旁通，引導學生關心解決問題的思考過程及采用策略。 如在講授反正弦函數(shù)時，教師可以這樣安排講授：

①對于我們過去所講過的正弦函數(shù)Y=SinX是否存在反函數(shù)？為什么？

②在（-∞，+∞）上，正弦函數(shù)Y=SinX不存在反函數(shù)，那么我們本節(jié)課應該怎么樣研究所謂的反正弦函數(shù)呢？

③為了使正弦函數(shù)Y=SinX滿足Y與X間成單值對應，這某一區(qū)間如何尋找，怎樣的區(qū)間是最佳區(qū)間，為什么？

講授反余弦函數(shù)Y=ArcCosX時，在完成了上述同樣的三個步驟后，我們可向學生提出第四個問題：

④反余弦函數(shù)Y=ArcCosX與反正弦函數(shù)Y=ArcSinX在定義時有什么區(qū)別。造成這些區(qū)別的主要原因是什么，學習中應該怎樣注意這些區(qū)別。

四、思維獨立性的培養(yǎng)

教學中要創(chuàng)造性地使用教材和借助形象思維的參與，培養(yǎng)學生思維的獨立性。 例如我在《等比數(shù)列求和公式》的教學中，首先講了這樣一個故事：甲、乙兩人訂立了一個合同，一個月內(nèi)甲每天需付給乙1萬元，而乙第一天需付給甲1分錢，第二天2分錢，第三天4分錢……，以后每天乙付給甲的錢數(shù)都是前一天的2倍，直到30天期滿．猜想一下，這一合同對誰有利？由于問題富有趣味性，學生頓時活躍起來，憑自己的自覺猜測結論．我及時點題：這就是我們今天研究的課題《等比數(shù)列求和公式》．這樣巧設懸念，使學生一開始就對問題產(chǎn)生濃厚的興趣，自覺地啟動積極的思維。

篇10

1． 串聯(lián)情況：本部分是函數(shù)內(nèi)容的基礎． 重點是了解函數(shù)的定義，會求簡單函數(shù)的定義域、值域，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用． 在熟練掌握有關技能的同時，注意換元、待定系數(shù)法等數(shù)學思想方法的運用，并通過對分段函數(shù)、復合函數(shù)、抽象函等的認識，進一步體會函數(shù)關系的本質．

2． 考情分析：從近幾年來看，對本考點的考查形勢穩(wěn)中求變，向著更靈活的方向發(fā)展，多為尋求變量間的函數(shù)關系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進而研究函數(shù)性質來解決問題．考查以選擇或填空題為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對較小，本節(jié)知識作為工具和其他知識結合起來命題的可能性依然很大．

3． 破解技巧：

（1）函數(shù)的定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，一般是構建不等式組求解．

（2）要克服“函數(shù)就是解析式”的片面認識，其中列表法、圖象法直觀，解析法是常用表述法，同時也要注意自變量的實際意義的要求．

（3）確定函數(shù)f（x）的值域或最值一般用不等式法、配方法、幾何法、換元法，也可直接利用它的圖象和性質求解，還可利用單調性定義或導數(shù)法確定其性質，再求值域．

4． 經(jīng)典例題：

函數(shù)f（x）=的定義域為A，g（x）=lg［（x－a－1）（2a－x）］（a

（1）求A；

（2）若BA，求實數(shù)a的取值范圍．

破解思路 實數(shù)集合間的相互關系一般需注意數(shù)軸（或韋恩圖）的利用；含參問題討論需注意合理的分類討論．

經(jīng)典答案 （1）由2－≥0得x

（2）由（x－a－1）（2a－x）>0得［x－（a+1）］（x－2a）

設函數(shù)f（x）=x－1（x≥0），（xa，則實數(shù)a的取值范圍是_______.

破解思路 分段函數(shù)體現(xiàn)了“分類”的數(shù)學方法，也是高考命題的熱點之一． 解此類問題一般需從兩方面考慮問題，必要時可結合圖象處理．

經(jīng)典答案 法1：當a≥0時，有a－1>a，得a

法2：分別作出函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x的圖象，用兩函數(shù)交點的橫坐標確定取值范圍．

1． 串聯(lián)情況：函數(shù)的圖象與性質是函數(shù)的主體部分． 考查形式靈活多變，一般是通過函數(shù)與不等式、導數(shù)或數(shù)列的交匯與鏈接，借助函數(shù)圖象的直觀工具，全面考查函數(shù)的奇偶性、周期性及單調性等基礎知識，同時考查數(shù)形結合、抽象思維、邏輯推理及創(chuàng)新能力．

2． 考情分析：函數(shù)性質是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質相關聯(lián)，函數(shù)圖象是函數(shù)形的體現(xiàn)，著力考查作圖、識圖、用圖能力． 從近幾年來看，以中等難度、題型新穎的試題綜合考查函數(shù)的性質，預計以組合形式、一題多角度考查函數(shù)性質的試題會成為新的熱點．

3． 破解技巧：函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質的數(shù)量特征緊密結合，有效地揭示了各類函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結合的特征與方法，為此，學習本單元要從定形、定性、定位各方面深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握判定方法；掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，并靈活運用圖象輔助解題．

4． 經(jīng)典例題：

設函數(shù)f（x）=x2+2x－a（x∈R，a為實數(shù)）

（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；

（2）設a>2，求函數(shù)f（x）的最小值．

破解思路 （1）函數(shù)的奇偶性問題，一要確定函數(shù)的定義域，二要看f（x）與f（－x）的關系；

（2）討論二次函數(shù)的區(qū)間最值問題：①注意對稱軸與區(qū)間的相對位置；②注意系數(shù)a的符號對拋物線開口方向的影響．

經(jīng)典答案 （1）由偶函數(shù)的定義得f（－x）=f（x），即2x－a=2x+a，解得a=0．

（2）f（x）=x2+2x－a（x≥a），x2－2x+a（x2，x≥a，得x>1，從而f（x）在x≥a時單調遞增， f（x）的最小值為f=．

當x0知f（x）的最小值為a－1．

假設定義域為［0，1］的函數(shù)f（x）同時滿足以下三個條件時稱f（x）為“友誼函數(shù)”：

①對任意的x∈［0，1］，總有f（x）≥0；

②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，則下列判斷正確的有_________．

（1）f（x）為“友誼函數(shù)”，則f（0）=0；

（2）函數(shù)g（x）=2x－1在區(qū)間［0，1］上是“友誼函數(shù)”；

（3）若f（x）為“友誼函數(shù)”，且0≤x1

破解思路 解決抽象函數(shù)問題一般有三種思路：

①利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“f”符號，轉化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用；

②適當?shù)摹百x值”也是得到一些基礎結論的好方法；

③尋求函數(shù)“模型”通過簡圖處理．

經(jīng)典答案 （1）取x1=x2=0得f（0）≥f（0）+f（0），又由f（0）≥0，得f（0）=0．

（2）顯然g（x）=2x－1在［0，1］上滿足①g（x）≥0；②g（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，則有g（x1+x2）－［g（x1）+g（x2）］=2－1－［（2－1）+（2－1）］=（2－1）（2－1）≥0，故g（x）=2x－1滿足條件①②③，所以g（x）=2x－1為友誼函數(shù)．

（3）因為0≤x1

綜上，正確答案是（1）（2）（3）．

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（2－x）=－f（x），且在［－1，0］上是增函數(shù)，下面關于f（x）的判斷：

①f（x）是周期函數(shù)；

②f（5）=0；

③f（x）在［1，2］上是減函數(shù)；

④f（x）在［－2，－1］上是減函數(shù)．其中正確的判斷是________.

（把你認為正確的判斷都填上）

破解思路 研究函數(shù)圖象，可以從“數(shù)”和“形”兩個方面入手，即解析式定量分析與圖象的定性分析．

經(jīng)典答案 因為f（2－x）=－f（x），所以f（x）有對稱中心（1，0）．

又f（2－x）=－f（x），所以f（x）= －f（2－x），所以f（x+4）=－f［2－（x+4）］= －f［－（x+2）］．

又f（x）為偶函數(shù)，所以f（x+4）= －f（x+2），所以f（x+4）=f［2－（x+2）］=f（－x）=f（x），所以4是f（x）的一個周期．

從而由圖象可知其中正確的判斷是①②③．

1． 串聯(lián)情況：二次函數(shù)是中學代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡單又具有豐富的內(nèi)涵和外延． 作為最基本的初等函數(shù)，可以它為素材來研究函數(shù)的單調性、奇偶性、最值等性質，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其他平面曲線討論相互之間關系．

2． 考情分析：有關二次函數(shù)的內(nèi)容與近、現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展緊密聯(lián)系，是我們進入高校繼續(xù)深造的重要知識基礎． 從近幾年高考的形勢來看，十分注重對三個“二次”（即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）的考查力度，同時也研究了它的許多重要的結論，并付諸應用． 高考試題中有近一半的試題與這三個“二次”問題有關．

3． 破解技巧：學次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖象特征． 從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理，從圖象特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結合．

4． 經(jīng)典例題：

已知二次函數(shù)y=f（x）=x2+bx+c的圖象過點（1，13），且函數(shù)y=fx－是偶函數(shù)．

（1）求f（x）的解析式．

（2）已知t

（3）函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點，其橫坐標是正整數(shù)，縱坐標是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由．

破解思路 （1）待定系數(shù)法是求二次函數(shù)解析式的基本方法，可設一般式、頂點式、兩根式，若是結合圖象處理可獲簡潔過程．

（2）確定函數(shù)f（x）在［a，b］上的值域，可直接利用它的圖象和性質求解；也可利用單調性定義或導數(shù)法確定其性質，再求值域．

經(jīng)典答案 （1）因為函數(shù)y=fx－是偶函數(shù)，對稱軸方程為x=－，故b=1．

又因為二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c的圖象過點（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．

因此， f（x）的解析式為f（x）=x2+x+11．

（2）g（x）=（x-2）•x，當x≤0時，g（x）=－（x-1）2+1，當x>0時，g（x）=（x-1）2－1，由此可知g（x）max=0．

當1≤t

當1－≤t

當t

（3）如果函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點，設為P（m，n2），其中m為正整數(shù)，n為自然數(shù)，則m2+m+11=n2，從而4n2－（2m+1）2=43，即［2n+（2m+1）］［2n－（2m+1）］=43．

注意到43是質數(shù)，且2n+（2m+1）>2n－（2m+1），2n+（2m+1）>0，所以有2n+（2m+1）=43，2n－（2m+1）=1，解得m=10，n=11.

因此，函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點，它的坐標為（10，121）．

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），設方程f（x）=x的兩個實數(shù)根為x1和x2．

（1）如果x1

（2）如果x1

破解思路 在求解二次方程根的分布問題時，要靈活運用判別式、邊界函數(shù)值、對稱軸等來轉化運算過程． 本題條件x1

經(jīng)典答案 設g（x）=f（x）－x=ax2+（b－1）x+1，則g（x）=0的兩根為x1和x2．

（1）由a>0及x1

即3+3•－

（2）由（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=－， 可得2a+1=． 又x1x2=>0，所以x1，x2同號．

所以x1

即g（2）0，2a+1=或g（－2）0，2a+1=，解之得b．

本題還可拆分為以下兩道較簡單的問題：

（拆分1）集合A=｛（x，y）y=x2+mx+2｝，B=｛（x，y）x－y+1=0，且0≤x≤2｝，若A∩B≠，求實數(shù)m的取值范圍． （答案：m∈（－∞，－1］）

（拆分2）已知關于x的方程x2－2tx+t2－1=0的兩個實根屬于區(qū)間（-2，4），則實數(shù)t的取值范圍是_______．（答案：－1

把題設中“兩個實根屬于區(qū)間（-2，4）”改為“至少有一實根屬于區(qū)間（-2，4）”或“至少有一實根屬于區(qū)間［－2，4］”或“一實根大于4，一實根小于-2”作為練習效果更好．

已知函數(shù)f（x）=ax2+（b－8）x－a－ab（a≠0）. 當x∈（－3，2）時， f（x）>0；當x∈（－∞，－3）∪（2，+∞）時， f（x）

（1）求f（x）在［0，1］內(nèi)的值域；

（2）當c為何值時，不等式ax2+bx+c≤0在［1，4］上恒成立？

破解思路 （1）確定函數(shù)f（x）在［a，b］上的值域，可直接利用它的圖象和性質求解，也可利用單調性的定義或導數(shù)法確定其有關性質，再求值域.

（2）關于不等式恒成立的問題，常見解法有數(shù)形結合法、分離參數(shù)法與主元法. 多數(shù)與參數(shù)取值范圍有關的問題，都可轉化為恒成立問題來處理. 如以下兩道題.

（拆分1）設f（x）=x2－2ax+2，當x∈［－1，+∞）時， f（x）≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________. （答案：a∈［－3，1］）

（拆分2）已知函數(shù)f（x）=lg（2x－b），b為常數(shù)，若當x∈［1，+∞）時， f（x）≥0，則（ ）

A. b≤1 B. b

C. b≥1 D. b=1

（答案:A）

經(jīng)典答案 由題意得x=－3和x=2是函數(shù)f（x）的零點，且a≠0，則0=a•（－3）2+（b－8）•（－3）－a－ab，

0=a•22+（b－8）•2－a－ab.解得a=－3，

b=5.所以f（x）=－3x2－3x+18.

（1）由函數(shù)圖象知，函數(shù)f（x）在［0，1］內(nèi)單調遞減，當x=0時，y=18；當x=1時，y=12. 所以f（x）在［0，1］內(nèi)的值域為［12，18］.

（2）令g（x）=－3x2+5x+c，則g（x）在，+∞上單調遞減. 要使g（x）≤0在［1，4］上恒成立，則需g（x）max=g（1）≤0，即－3+5+c≤0，解得c≤－2. 所以當c≤－2時，不等式ax2+bx+c≤0在［1，4］上恒成立.

1． 串聯(lián)情況：本部分主要側重考查以下幾點：一是以指對數(shù)運算為依據(jù)，考查求函數(shù)值、對數(shù)式與指數(shù)式的互化；以考查單調性為目的的大小比較；以指數(shù)或對數(shù)函數(shù)為載體，以某一性質為核心，結合其他知識，把問題延伸，主要以考查知識的綜合運用和能力的發(fā)展為目的．

2． 考情分析：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類常見的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位． 從近幾年的高考形勢來看，對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質為依托，結合運算推理，能運用它們的性質解決具體問題． 題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復合函數(shù)來考查函數(shù)的性質． 若它們與其他知識點交匯命題，則難度會加大．

3． 破解技巧：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，運算可相互轉化，性質可相互理解，方法可相互借鑒．

（1）學會指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉化；

（2）結合指對數(shù)“互反”性質記憶有關的概念、圖象和性質．

（3）底是參數(shù)時，一定要區(qū)分底是大于1還是小于1的，與對數(shù)有關的問題還要緊扣對數(shù)函數(shù)的定義域．

4． 經(jīng)典例題：

已知函數(shù)f（x）=ax（x

A． 0， B． （0，1）

C． ，1 D． （0，3）

破解思路 本題考查意圖：一是解決指數(shù)函數(shù)的相關問題時，要對底數(shù)a進行討論；二是考慮分段函數(shù)的單調性問題，這是學習的一個難點，應緊扣定義理解．

經(jīng)典答案 由條件知， f（x）在R上為減函數(shù)，則0

設函數(shù)f（x）=loga1－，其中0

（1）證明：f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)；

（2）解不等式f（x）>1．

破解思路 證明函數(shù)單調性的常用方法有：

定義法，一般是作差、分解、判斷.

導數(shù)法，若f（x）在某個區(qū)間A內(nèi)有導數(shù)，則f ′（x）≥0（x∈A）f（x）在A內(nèi)為增函數(shù)；

f ′（x）≤0（x∈A）f（x）在A內(nèi)為減函數(shù)．

經(jīng)典答案 （1）任取x1，x2∈（a，+∞），且x1f（x2），所以f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)．

（2）由01得loga1－>logaa，則0

已知函數(shù)f（x）=a－，

（1）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；

（2）求證：不論a為何實數(shù)， f（x）在R上總為增函數(shù)；

（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

破解思路 （1）判斷函數(shù)的奇偶性，先考察定義域，再利用定義判定；

（2）解決具體函數(shù)的單調性問題，一般可用單調性定義解決；也可用求導方法解決． 但用定義證明要注意合理的判斷過程．

經(jīng)典答案 （1）函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0=a－1，所以a=1；

（2）函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上是增函數(shù)，證明如下：設x1，x2∈R，且x1

因為函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，且y>0，又因為x10，所以f（x1）

（3）由單調性知2x+1>1，則0

定義在R上的單調函數(shù)f（x）滿足f（3）=log23且對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；

（2）若f（k•3x）+f（3x－9x－2）

破解思路 利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“f”符號，轉化為代數(shù)不等式組求解．

經(jīng)典答案 （1）證明：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0，代入上式，得f（0）=0；再令y=－x代入上式，得f（x－x）=f（x）+f（－x）=f（0）=0，即f（－x）=－f（x）對任意x∈R成立，所以f（x）是奇函數(shù)．

（2）f（3）=log23>0，即f（3）>f（0），又f（x）在R上是單調函數(shù)，所以f（x）在R上是增函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)．f（k•3x）

令t=3x>0，問題等價于g（t）=t2－（1+k）t+2>0對任意t>0恒成立．

當

當≥0，即k≥－1時，則g=2－>0，得－1≤k

綜上，當k

1． 串聯(lián)情況：本部分內(nèi)容在高考中地位并不非常突出，但屬于必考內(nèi)容，整個命題過程源于教材，又高于教材，是教材中問題的延伸、變形與組合，主要以考查知識的綜合運用和能力的發(fā)展為目的．

2． 考情分析：函數(shù)與方程的理論是高中新課標教材中新增的知識點，特別是“二分法”求方程的近似解一定是高考的考點． 題型可為選擇題、填空題和解答題，多為函數(shù)零點（即方程的根）的應用問題，即已知函數(shù)的零點的存在情況求參數(shù)的值，同時考查函數(shù)方程的思想．

3． 破解技巧：解決該類問題關鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結合思想，構建關于參數(shù)的方程或不等式求解．

4． 經(jīng)典例題：

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時， f（x）=log0.5（x+1）（0≤x

破解思路 奇偶函數(shù)的問題，可以根據(jù)對稱性先研究一部分，數(shù)形結合是解決此類問題的常用方法．

經(jīng)典答案 因為x≥0時， f（x）=log0.5（x+1）（0≤x

綜上S=－1（－1

1． 串聯(lián)情況：導數(shù)是高中數(shù)學中重要的內(nèi)容，是解決實際問題的強有力的數(shù)學工具，運用導數(shù)的有關知識，研究函數(shù)的性質：單調性、極值和最值是高考的熱點問題．

2． 考情分析：對函數(shù)與導數(shù)的交匯考查非常全面，所占分值較高，既有基本題也有綜合題． 一般以兩種形式考查：一是直接把導數(shù)應用于多項式函數(shù)性質的研究，考查多項式函數(shù)的單調性、極值、最值等：二是把導數(shù)與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等相聯(lián)系，進行綜合考查，主要考查函數(shù)的最值或求參數(shù)取值范圍問題．

3． 破解技巧：首先確定函數(shù)的定義域，再求導數(shù)f ′（x），得到導函數(shù)的零點，一般列表判定單調區(qū)間與極值或最值；若是含參變量的單調性或極值問題，則應結合定義域對方程根的問題進行討論；求解某些綜合問題時，還要進行命題轉化（如恒成立、大小比較、數(shù)列問題等），逐步化歸為基本問題來解決，尤其要注意分類討論、數(shù)形結合等思想的綜合運用．

4． 經(jīng)典例題：

已知函數(shù)f（x）的定義域為［－3，+∞），部分函數(shù)值如表1所示，其導函數(shù)的圖象如圖1所示，若正數(shù)a，b滿足f（2a+b）

表1

圖2

A． ，1

B． ，4

C． （1，4）

D． －∞，∪（4，+∞）

破解思路 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與利用初等函數(shù)研究單調性不同，其中導函數(shù)是通過函數(shù)值的正負研究其單調性的，初等函數(shù)是通過圖象的上升或下降來研究其單調性的．

經(jīng)典答案 由函數(shù)表與導數(shù)圖判定得－3

已知函數(shù)f（x）=x3+2bx2+cx－2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y=5x－10．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）設函數(shù)g（x）=f（x）+mx，若g（x）的極值存在，求實數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g（x）取得極值時對應的自變量x的值．

破解思路 用導數(shù)的幾何意義研究切線方程時要注意該點是否在曲線上． “三次型”函數(shù)的導數(shù)是二次函數(shù)，我們往往可以通過研究二次函數(shù)的根的分布問題來解決此類題目．

參考答案 （1）由已知，切點為（2，0），故有f（2）=0，即4b+c+3=0．①

又f ′（x）=3x2+4bx+c，由已知f ′（2）=12+8b+c=5得8b+c+7=0． ②

聯(lián)立①②，解得b=－1，c=1，所以函數(shù)的解析式為f（x）=x3－2x2+x－2．

（2）因為g（x）=x3－2x2+x－2+mx，令g′（x）=3x2－4x+1+m=0，當函數(shù)有極值時，則Δ≥0，方程3x2－4x+1+m=0有實數(shù)解， 由Δ=4（1－m）≥0，得m≤1．

①當m=1時，g′（x）=0有實數(shù)根x=，在x=左右兩側均有g′（x）>0，故函數(shù)g（x）無極值．

②當m

表2

所以在m∈（－∞，1）時，函數(shù)g（x）有極值．當x=（2－）時，g（x）有極大值；當x=（2+）時，g（x）有極小值．

已知函數(shù)f（x）=alnx－ax－3（a∈R）．

（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

（2）函數(shù)f（x）的圖象在x=4處切線的斜率為，若函數(shù)g（x）=x3+x2f ′（x）+在區(qū)間（1，3）上不是單調函數(shù)，求m的取值范圍．

破解思路 討論函數(shù)的單調性其實就是討論不等式的解集的情況，大多數(shù)情況下是歸結為一個含參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論． 討論函數(shù)的單調性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進行的，不要忽視了定義域的限制．

經(jīng)典答案 （1）f ′（x）=（x>0）． 當a>0時， f（x）的單調增區(qū)間為（0，1］，減區(qū)間為［1，+∞）；

當a

當a=0時， f（x）不是單調函數(shù)．

（2）f ′（4）=－=得a=－2， f（x）= －2lnx+2x－3，所以g（x）=x3++2•x2－2x，所以g′（x）=x2+（m+4）x－2．

因為g（x）在區(qū)間（1，3）上不是單調函數(shù)，且g′（0）=－2，所以g′（1）0， 所以m－，m∈－，－3．

1． 串聯(lián)情況：函數(shù)應用題與綜合應用題是最能體現(xiàn)考生函數(shù)水平的試題：一次函數(shù)、二次函數(shù)、y=x+（a＞0）型、指數(shù)型、對數(shù)型與現(xiàn)實生活相結合，考查建模能力，而函數(shù)與數(shù)列、不等式、導函數(shù)等眾多知識的交匯已經(jīng)成為函數(shù)綜合應用中的典型問題．

2． 考情分析：函數(shù)應用問題是高考的熱點，高考對應用題的考查即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢． 高考中重視考查環(huán)境保護及數(shù)學課外的綜合性應用題等問題． 出于“立意”和創(chuàng)設情景的需要，函數(shù)試題設置問題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考查，加大函數(shù)應用題、探索題、開放題和信息題的考查力度，從而使高考考題顯得新穎、生動和靈活．

3． 破解技巧：解函數(shù)應用問題的步驟（四步八字）

（1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；

（2）建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；

（3）求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；

（4）還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義．

4． 經(jīng)典例題：

行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，要繼續(xù)向前滑行一段距離后才會停下，這段距離叫剎車距離． 為測定某種型號汽車的剎車性能，對這種型號的汽車在國道公路上進行測試，測試所得數(shù)據(jù)如表3． 在一次由這種型號的汽車發(fā)生的交通事故中，測得剎車距離為15.13 m，則該汽車在剎車時的速度是多少？

破解思路 所求問題為根據(jù)表3數(shù)據(jù)，建立描述v與s之間關系的數(shù)學模型的問題． 此模型不能由表格中的數(shù)據(jù)直接看出，因此，以剎車時車速v為橫軸，以剎車距離s為縱軸建立直角坐標系． 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作散點圖，可看出應選擇二次函數(shù)作擬合函數(shù)．

經(jīng)典答案 假設變量v與s之間有如下關系式：s=av2+bv+c，因為車速為0時，剎車距離也為0，所以二次曲線的圖象應通過原點（0，0）． 再在散點圖中任意選取兩點A（30，7．30），B（80，44．40）代入，解出a，b，c，于是s=0.0062v2+0.0563v． （代入其他數(shù)據(jù)有偏差是許可的）

將s=15．13代入得15.13=0.0062v2+0.0563v，解得v≈45.07．

所以，汽車在剎車時的速度是45.07km/h．

如圖2，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．

圖2

（1）求面積S以x為自變量的函數(shù)關系式，并寫出其定義域；

（2）求面積S的最大值．

破解思路 梯形面積是“上底加下底，乘以高除以2”，題目中已經(jīng)給出梯形的上、下底分別為2x和2r，但是其高是多少呢？這顯然取決于橢圓的形狀． 又橢圓的方程正是這一形狀的“數(shù)”的表示，有了方程就可知高與x的關系，進而梯形的面積S與x的關系式（目標函數(shù)）也就不難寫出來了．以導數(shù)為工具求函數(shù)S（x）的最大值是比較自然而常規(guī)的方法．

經(jīng)典答案 （1）以AB的中點O為原點建立直角坐標系，則點C在橢圓+=1（y≥0）上，所以S=2（x+r）•，定義域為｛x0

（2）記f（x）=S2=4（x+r）2（r2－x2）（0

1． 認真落實本章的每個知識點，注意揭示概念的數(shù)學本質． 從“數(shù)”和“形”兩個方面體會并加強對一些小結論形成過程的理解．